Дмитрий Гриних родился в 1971 году в семье российских немцев.
После окончания общеобразовательной и музыкальной школы он учился на музыкальном факультете педагогического училища.
В 1994 году окончил музыкальный факультет Владимирского педагогического университета по специальности преподаватель фортепиано и концертмейстер.
С 1994 года учился на вокальном факультете Российской Академии Музыки им. Гнесиных, а затем продолжил там свое обучение в аспирантуре.
С 1998 года является солистом Московского театра «Эрмитаж», а с 2008 года солистом агентства «Госконцерт».
С 2000 года работает на кафедре вокала Московского Государственного Гуманитарного Университета им. Шолохова и на кафедре сольного пения Международного Славянского Института, где не только ведет класс специального сольного пения, но и читает лекции по следующим дисциплинам: основы вокальной методики, история вокального искусства, музыкальная психология, основы фониатрии.
Участвовал в мастер-классах профессора Г. Леше по исполнению немецкой классической песни, а также профессора Я.Раппе по исполнению старинной музыки и славянской классической песни.
Много выступает с камерными концертами. В его репертуаре более 400 классических песен и романсов. Участвует в исполнении кантат, ораторий и опер с оркестрами России и Белоруссии.