Народный артист России, выдающийся солист-виртуоз, Александр Цыганков ведёт активную концертную деятельность. В начале 1980-х годов он стал участником трио под руководством баяниста Анатолия Беляева. В 1989 году основал ансамбль солистов «Русский фестиваль». Концерты коллектива проходили в Нидерландах, Испании, Турции, США; фирмами Косн International и Fidelio было выпущено три компакт-диска ансамбля. В дуэте с пианисткой Инной Шевченко выступал в городах России и за рубежом — в Югославии, Норвегии, Швеции, Франции, Германии, Японии, играя до ста сольных концертов в сезон. Много лет музыкант успешно сотрудничает с оркестрами русских народных инструментов Петрозаводска, Казани, Астрахани, Череповца, Нижнего Новгорода, Краснодара, Барнаула и других городов.
Александр Цыганков — автор многочисленных сочинений для домры. Его произведения сегодня входят в основной концертный и учебный репертуар современных профессиональных исполнителей на этом инструменте. Концертную деятельность музыкант совмещает с педагогикой. Он — профессор Российской академии музыки имени Гнесиных, председатель жюри конкурса «Кубок Севера» в Череповце и конкурса домристов в рамках фестиваля «Созвездие мастеров». Артист регулярно даёт мастер-классы для студентов и начинающих музыкантов. Издал ряд авторских сборников, пластинок и компакт-дисков; его концертный репертуар составляют собственные сочинения, произведения современных авторов, а также многочисленные транскрипции.