Александр Цветков окончил математико-механический факультет (астрономическое отделение) СПбГУ в 1990 г. Кандидат физ.-мат. наук, с 2000 г. — доцент математико-механического факультета СПбГУ. Автор свыше 50 научных работ и учебных пособий.
Активно концертирует с тематическими программами в различных залах Санкт-Петербурга и за рубежом. Выступал в ансамбле с ведущими солистами оркестра и оперы Мариинского театра. Автор статей по истории музыки в журнале «Орган».
Является организатором и участником многих концертов старинной музыки, проходивших с большим успехом в недавно восстановленной силами холдинга «Гутцайт групп» Крепости Бип, расположенной недалеко от Павловского дворца. Инициатор проекта установки духового органа в атриуме Крепости, реализация которого намечена на ближайшие годы.
C 2014 г. Александр Цветков является членом Ассоциации органистов и органных мастеров Международного союза музыкальных деятелей.
С 2016 года активно ведет преподавательскую работу с вокалистами. Его ученики неоднократно занимали призовые места на международных конкурсах.
В 2017 году удостоен специального диплома «Лучший концертмейстер» в номинации «Голос и орган» на I международном конкурсе «Царскоселький».